시작하며

지난주부터 가을학기가 개강하여 금요일을 제외한 평일들에 수업을 듣고 있다. 이번 학기에는 전기전자쪽 수업들도 듣게 되었는데 그 중 하나가 이 Electromagnetics I이다. 복습도 하고 버려두었던 블로그에 글도 채울겸 앞으로는 수업 내용들을 간략하게 블로그에 정리해보고자 한다.

오늘은 첫 주의 내용을 기록할건데 아직 초반이라 기초적인 벡터의 개념과 Vector Calculus에 대해 다뤘다. Calculus II를 수강한지 매우 오래되었기 때문에 강의 초반부에 이런 간단한 복습 파트가 있는 것에 대해 교수님께 매우 감사하고 있다.

Scalar & Vector & Field

Scalar는 방향 없이 크기만을 갖는 물리량이다. 우리가 일상에서 사용하는 온도, 길이, 속력 등이 Scalar에 포함된다. 반면 Vector는 크기와 함께 방향도 갖는다. 힘, 속도, 변위 등이 Vector에 포함된다.

Field는 무엇일까? Field는 어떤 공간(시간)의 각 위치에 값이 정해져있는 것이다. 예를 들어 지구의 기온 분포를 생각해보자. 지구에서의 위치와 시간을 정해주면 해당 위치의 온도가 정해져있다. 혹은 바람에 대해 생각해보자. 마찬가지로 위치와 시간이 정해진다면 해당 위치에서의 바람의 속도 또한 정해져있을 것이다. 전자는 방향이 없고 크기만 있으므로 Scalar Field이고 후자는 방향과 크기 모두 있으므로 Vector Field이다.

Addition & Subtraction

Cartesian coordinate에서의 Vector A\textbf{A}는 각각 x, y, z축의 방향을 가리키는 unit vector인 Standard basis {ax,ay,az}\{\textbf{a}_x,\textbf{a}_y,\textbf{a}_z\}의 선형결합으로 표현될 수 있고 이 표현은 유일하다.

A=Axax+Ayay+Azaz\textbf{A} = A_x\textbf{a}_x + A_y\textbf{a}_y + A_z\textbf{a}_z

이를 통해 Addition과 Subtraction도 굉장히 편하게 할 수 있는데, 아래처럼 각 축의 성분끼리 계산하면 된다.

A±B=(Ax±Bx)ax+(Ay±By)ay+(Az±Bz)az\textbf{A} \pm \textbf{B} = (A_x \pm B_x)\textbf{a}_x + (A_y \pm B_y)\textbf{a}_y + (A_z \pm B_z)\textbf{a}_z

계산 방식을 보면 알 수 있듯이 덧셈에서는 교환·결합 법칙 역시 성립한다. 다만 뺄셈에서는 성립하지 않는다.

Scalar(Dot) Product

A⋅B=ABcos⁡θ=AxBx+AyBy+AzBz\textbf{A} \cdot \textbf{B} = AB\cos\theta = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z

Scalar Product라는 이름에서 알 수 있듯 내적의 결과는 Scalar이다. 여기서 A,BA, B는 각각 vector A,B\textbf{A}, \textbf{B}의 크기이고 θ\theta는 두 vector 사이의 각이다. B\textbf{B}가 영벡터가 아닐 때, 기하학적으로는 A\textbf{A}를 B\textbf{B} 방향으로 projection한 부호 있는 길이에 BB를 곱한다고 생각할 수 있다. 방향이 얼마나 겹치는지뿐 아니라 두 vector의 크기도 함께 반영하는 셈이다.

Scalar Product에서는 교환 법칙과 분배 법칙이 성립하기 때문에 아래와 같이 사용할 수 있다.

A⋅B=B⋅AA⋅(B+C)=A⋅B+A⋅C\textbf{A} \cdot \textbf{B} = \textbf{B} \cdot \textbf{A} \\ \textbf{A} \cdot (\textbf{B} + \textbf{C}) = \textbf{A} \cdot \textbf{B} + \textbf{A} \cdot \textbf{C}

여기에 적진 않겠지만 이를 통해 우리가 잘 알고 있는 cosine 법칙 c=a2+b2−2abcos⁡θc = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos\theta}도 유도할 수 있다.

Vector(Cross) Product

A×B=ABsin⁡θAB an=∣axayazAxAyAzBxByBz∣\mathbf{A} \times \mathbf{B} = AB\sin\theta_{AB}\,\mathbf{a_n} = \begin{vmatrix} \mathbf{a_x} & \mathbf{a_y} & \mathbf{a_z} \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}

Vector Product의 결과는 크기가 ABsin⁡θAB\sin\theta, 방향이 an\mathbf{a_n}인 vector이다. 이때 direction an\mathbf{a_n}은 두 vector A,B\mathbf{A}, \mathbf{B} 모두에 수직인 방향을 가리키는 unit vector이다. 두 vector 모두에 수직인 방향이라고 하면 두 가지 방향이 가능한데, 오른손 법칙을 사용하여 방향을 결정하면 된다. 크기인 ABsin⁡θAB\sin\theta의 경우 두 vector A,B\mathbf{A}, \mathbf{B}를 변으로 하는 평행사변형의 넓이와 같다.

Vector Product에서는 분배법칙은 성립하지만 교환법칙과 결합법칙은 일반적으로 성립하지 않는다. 두 vector의 순서를 바꾸면 오른손 법칙으로 정한 방향도 반대가 되므로 A×B=−B×A\mathbf{A} \times \mathbf{B} = - \mathbf{B} \times \mathbf{A}가 성립한다. 외적이 0인 경우에는 방향이 정의되지 않는다.

Triple Product

A⋅(B×C)=B⋅(C×A)=C⋅(A×B)\mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = \mathbf{B} \cdot (\mathbf{C} \times \mathbf{A}) = \mathbf{C} \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B})

Scalar triple product는 순환적으로 순서를 바꿔도 같고 기하학적으로는 A,B,C\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C} vector를 각 변으로 하는 평행육면체의 부피(부호는 다를 수 있음)를 나타낸다.

A×(B×C)=B(A⋅C)−C(A⋅B)\mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = \mathbf{B}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}) - \mathbf{C}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})

Vector triple product는 BAC-CAB rule로 위와 같이 전개할 수 있다.

Del Operator ∇\nabla

∇=∂∂xax+∂∂yay+∂∂zaz\nabla = \frac{\partial}{\partial x}\mathbf{a_x} + \frac{\partial}{\partial y}\mathbf{a_y} + \frac{\partial}{\partial z}\mathbf{a_z}

Del Operator는 vector differential 연산자이다. x,y,zx, y, z축 성분에 대해 각각 편미분을 적용하는 연산이고 이를 이용해 gradient, divergence, curl 등을 계산한다. 이번 글에서는 gradient와 divergence까지 다룬다.

Gradient

∇V=∂V∂xax+∂V∂yay+∂V∂zaz\nabla V = \frac{\partial V}{\partial x}\mathbf{a_x} + \frac{\partial V}{\partial y}\mathbf{a_y} + \frac{\partial V}{\partial z}\mathbf{a_z}

3차원 scalar field인 V(x,y,z)V(x,y,z)에서 Gradient의 결과는 vector이다. 이 vector의 방향은 해당 point에서 VV가 가장 빠르게 증가하는 방향이고 크기는 그 방향으로의 slope이다.

머신러닝의 기초를 공부할 때 Gradient Descent라는 방법론에 대해 배웠었는데 여기서의 Gradient가 바로 이것이다. 입체(고차원의 함수)에서 기울기를 계산한다.

Divergence

Divergence는 Vector field의 특정 점 주변에 아주 작은 상자를 놓았을 때, 들어오는 양보다 나가는 양이 얼마나 많은지를 단위 부피당으로 나타낸 값이다. 상자를 그 점으로 줄여가며 구하는 값이고 결과는 scalar이다. 들어온 만큼 나가면 divergence는 0이지만, vector field 자체가 0이라는 뜻은 아니다.

좌표계의 형태와 무관하게 아래와 같이 쓸 수 있다. 여기서 SS는 부피 Δv\Delta v를 둘러싸는 닫힌 표면이고, dSd\mathbf{S}는 바깥쪽 법선 방향의 면적벡터다. 분자의 면적분이 상자 전체에서의 순유출량인 flux이고, 이를 부피로 나눈 뒤 극한을 취하는 것이다.

∇⋅A=lim⁡Δv→0∮SA⋅dSΔv\nabla \cdot \mathbf{A} = \lim_{\Delta v \to 0} \frac{\oint_S\mathbf{A} \cdot d\mathbf{S}}{\Delta v}

Cartesian coordinate에 한해서는 아래처럼 사용할 수 있다.

∇⋅A=∂Ax∂x+∂Ay∂y+∂Az∂z\nabla \cdot \mathbf{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}

마치며

Electromagnetics I 수업의 첫주차 내용을 간단하게 정리해봤다. 블로그이기도 하고 손으로 적는게 아니다 보니 여러 내용이나 증명들이 빠지게 되어 좀 아쉬움이 남는다. 아마 LaTeX에 좀 더 익숙해지고 자주 쓰다보면 내용 정리도 좀 더 자세하고 깔끔하게 할 수 있을 것 같다.

앞으로의 수업에서 Vector 연산과 Gradient, Divergence 등의 개념은 계속해서 사용하게 될 것이니 계속해서 머리에 새겨두어야겠다.